Ще не так давно ЗМІ рясніли повідомленнями про те, що Григорію Перельману вдалося довести знамениту гіпотезу Пуанкаре. Найбільше громадськість вразив той факт, що тріумфатор відмовився від нагород і премій, які йому належало отримати. На жаль, про суть відкриття журналісти особливо не розповідали, тому спробуємо заповнити цю прогалину.
Геніальний математик, паризький професор Анрі Пуанкаре займався різними областями цієї науки. Самостійно і незалежно від робіт Ейнштейна в 1905 році він висунув основні положення спеціальної теорії відносності. А свою знамениту гіпотезу він сформулював ще в 1904 році, так що на її рішення було потрібно близько століття.
Пуанкаре був одним з родоначальників топології - науки про властивості геометричних фігур, які не змінюються при деформаціях, що відбуваються без розривів. Приміром, повітряна кулька може з легкістю деформувати в найрізноманітніші фігури - як це роблять для дітей у парку. Але потрібно розрізати кульку, щоб скрутити з неї бублик (або, кажучи геометричною мовою, тор) - іншого способу не існує. І навпаки: візьміть гумовий бублик і спробуйте «перетворити» його в сферу. Втім, все одно не вийде. За своїми топологічними властивостями поверхні сфери і тора несумісні, або негомеоморфні. Зате будь-які поверхні без «дірок» (замкнуті поверхні), навпаки, гомеоморфні і здатні, деформуючись, переходити в сферу.
Якщо щодо двовимірних поверхонь сфери та тора все було вирішено ще в XIX столітті, для більш багатовимірних випадків знадобилося значно більше часу. У цьому, власне, і полягає суть гіпотези Пуанкаре, яка розширює закономірність на багатовимірні випадки. Трохи спрощуючи, гіпотеза Пуанкаре говорить: «Усяке однозв’язне замкнуте n-мірне різноманіття гомеоморфне n-вимірній сфері». Кумедно, що варіант із тривимірними поверхнями виявився непростим. У 1960 році гіпотеза була доведена для розмірностей 5 і вище, в 1981 - для n = 4. Каменем спотикання стала саме тривимірність.
Розвиваючи ідеї Вільяма Терстена і Річарда Гамільтона, запропоновані ними в 1980-х роках, Григорій Перельман застосував до тривимірних поверхонь особливе рівняння «плавної еволюції». І зумів показати, що вихідна тривимірна поверхня (якщо в ній немає розривів) обов'язково буде еволюціонувати в тривимірну сферу (це поверхня чотиривимірної кулі і існує вона в 4-вимірному просторі). За словами ряду фахівців, це була ідея «нового покоління», рішення якої відкриває нові горизонти для математичної науки.
Цікаво, що сам Перельман чомусь не потрудився довести своє рішення до остаточного блиску. Описавши рішення «в цілому» в препринті The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications в листопаді 2002 року, він у березні 2003 року доповнив доказ і виклав його в препринті Ricci flow with surgery on three-manifolds, а також повідомив про метод в серії лекцій, які прочитав у 2003 році за запрошеннями ряду університетів. Жоден з рецензентів не зміг виявити в запропонованому ним варіанті помилок, але і публікації в реферованому науковому виданні Перельман не випустив (а саме такою, зокрема, була необхідна умова отримання премії Математичного інституту Клея). Зате в 2006 році на основі його методу вийшов цілий набір доказів, в яких американські та китайські математики докладно і повністю розглядають проблему, доповнюють моменти, пропущені Перельманом, і видають «остаточний доказ» гіпотези Пуанкаре.
